72割の法則を考える

複利の計算に72割の法則がある。 利率ｘ%のとき、元金の２倍になるのに何年かかるか計算するのに、72/ｘ で大まかに求められるという法則だ。 なぜかを考えてみた。

まず、複利でｘ%でｎ年たつと２倍になる、と置く

$$(1+\frac{x}{100})^n = 2$$

両辺の対数をとる

$$\ln\{(1+\frac{x}{100})^n\} = \ln 2$$

ｎ乗の対数は掛け算に出すことができる

$$n \cdot \ln\{1+\frac{x}{100}\} = \ln 2$$

移項してｎ＝…にもっていく

$$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+\frac{x}{100})}$$

上式で厳密に求めることができるが、簡単にするため

$$f(x) = \ln(1+\frac{x}{100})$$

をマクローリン展開する。 マクローリン展開：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n = f(0) + f^{\prime}(0) x + ...$$

第２項まで求める。 第１項の係数

$$f(0) = \ln(1) = 0$$

第２項の係数：f’ を求めて、f’(0) を計算

$$f^{\prime}(x) = \ln(1+\frac{x}{100}) ^{\prime} = \frac{1}{1+\frac{x}{100}} \cdot (1+\frac{x}{100})^{\prime} = \frac{1}{1+\frac{x}{100}} \cdot \frac{1}{100}$$ $$f^{\prime}(0) = \frac{1}{100}$$

上の結果から、

$$f(x) = \frac{1}{100} \cdot x + ...$$ $n=...$ の式に $f(x)$ の結果を入れると $$n = \frac{\ln 2}{f(x)} = \frac{\ln 2}{\frac{1}{100} \cdot x}$$ $\ln 2 = 0.6931...$ から $$n = \frac{69.31}{x}$$

でおおまかに求めることができる。

69は割り算しにくいので、近い値で3でも4でも割れる72にしたんではないだろうか。 72だと、x=0ではなくx=8 近辺で誤差が最小になる。

ちなみに

上を導くのに小一時間かかった。orz 超低金利時代の現在、0.02% の利率で２倍になるには、3466年かかる。orz