複利の計算に72割の法則がある。 利率ｘ%のとき、元金の２倍になるのに何年かかるか計算するのに、72/ｘ で大まかに求められるという法則だ。 なぜかを考えてみた。
まず、複利でｘ%でｎ年たつと２倍になる、と置く
$$ \left(1+\frac{x}{100}\right)^n = 2 $$
両辺の対数をとる
$$ \ln\left\lbrace \left(1+\frac{x}{100}\right)^n \right\rbrace = \ln 2 $$
ｎ乗の対数は掛け算に出すことができる
$$ n \cdot \ln\left\lbrace 1+\frac{x}{100} \right\rbrace = \ln 2 $$
移項してｎ＝…にもっていく
$$ n = \frac{\ln 2}{\ln \left(1+\frac{x}{100}\right)} $$
上式で厳密に求めることができるが、簡単にするため
$$ f(x) = \ln\left(1+\frac{x}{100}\right) $$
をマクローリン展開する。 マクローリン展開：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n = f(0) + f^{\prime}(0) x + … $$
第２項まで求める。 第１項の係数
$$ \begin{align*} f(0) &= \ln(1) \\ &= 0 \end{align*} $$
第２項の係数：\(f^\prime(x)\) を求めて、それに\(x=0\)を代入して\(f^\prime(0)\) を計算
$$ \begin{align*} f^{\prime}(x) &= \ln\left(1+\frac{x}{100}\right) ^{\prime} \\ &= \frac{1}{1+\frac{x}{100}} \cdot \left(1+\frac{x}{100}\right)^{\prime} \\ &= \frac{1}{1+\frac{x}{100}} \cdot \frac{1}{100} \end{align*} $$ $$ \therefore f^{\prime}(0) = \frac{1}{100} $$
上の結果から、
$$ f(x) = \frac{1}{100} \cdot x + … $$
\(n=…\) の式に \(f(x)\) の結果を入れると
$$ \begin{align*} n &= \frac{\ln 2}{f(x)} \\ &= \frac{\ln 2}{\frac{1}{100} \cdot x} \end{align*} $$
\(\ln 2 = 0.6931…\) から
$$ n = \frac{69.31}{x} $$
でおおまかに求めることができる。
69は割り算しにくいので、近い値で3でも4でも割れる72にしたんではないだろうか。 72だと、x=0ではなくx=8 近辺で誤差が最小になる。
ちなみに
上を導くのに小一時間かかった。orz 超低金利時代の現在、0.02% の利率で２倍になるには、3466年かかる。orz